Théorème de Thalès : démonstration

vendredi 23 mai 2003
par  Classe de Mathématiques 1

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans
le livre VI de ses Éléments. Nous nous proposons de la restituer en
langage moderne...

 

Les aires des triangles BEF et CEF sont égales (et valent toutes deux \frac{EF \times h}{2})

 

Or aire(ABF)=aire(AEF)-aire(BEF)

 

et de même : aire(ACE) = aire(AEF)-aire(CEF)

Donc aire(ABF) = aire(ACE)

Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.

 

En utilisant la hauteur (FI), on trouve que :

  • aire(ABF) = \frac{AB \times FI}{2}
  • aire(AEF) = \frac{AE \times FI}{2}

On a donc : \frac{aire(ABF)}{aire(AEF)} = \frac{AB}{AE} (1)

 

De même, en utilisant la hauteur (EJ), on trouve :

\frac{aire(ACE)}{aire(AEF)} = \frac{AC}{AF} (2)

Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le théorème
de Thalès.



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