Énoncé de la narration de recherche :
Construire deux carrés de telle sorte que l’aire du deuxième soit le double de l’aire de l’autre.

Un problème embarrassant...

Nous sommes au VIème siècle avant notre ère, dans une petite ville du sud de l’Italie appelée Crotone. C’est la ville qu’a choisie un immense savant de l’époque (mathématicien, mais aussi musicologue, astronome et philosophe - c’est même lui qui aurait inventé ce mot !) pour créer son Ecole. Ce grand esprit s’appelait Pythagore ; né dans l’île de Samos (une île grecque de la mer Egée) en −580, grand voyageur (il est allé jusqu’en Egypte, et à Babylone), sportif accompli (il fut à 18 ans champion olympique de pugilat,
une forme de combat à mains nues), il a réuni autour de lui des disciples (appelés Pythagoriciens) dans ce qui s’apparente à une secte aux règles et principes extrèmement stricts.

Leur philosophie, leur vision du monde, est basée sur l’aphorisme suivant : "Tout est Nombre" ; à savoir que les nombres, pour eux, sont le principe même des choses, de l’harmonie universelle. Par "nombre"les Pythagoriciens entendent nombre entier, voire nombre rationnel (c’est-à-dire rapport de deux nombres entiers), et chaque nombre peut être représenté par la longueur d’un segment de droite. Pythagore et ses disciples sont confrontés à un problème en apparence simple, mais qui leur cause un grand tourment ; ce problème est le suivant :
Combien mesure la diagonale d’un carré de côté 1 ?

En effet, malgré leurs tentatives, aucun nombre rationnel ne semble convenir ! La longueur de cette diagonale serait-elle un nombre qui n’existe pas ? Voilà qui sape les fondations de leur philosophie, et remet en question l’ensemble de leurs connaissances sur les nombres...

La solution proposée par Valentin

Déplacez les points A,B,C et D pour découper la figure (ci-jointe, à ouvrir avec Geogebra).

L’aire du carré bleu est $A_{cbleu}=2\times 2=4$
En déplaçant les triangles rectangles on constate que l’aire du carré est orange est bien la moitié de celle du carré bleu :

$$A_{corange}=\frac{A_{cbleu}}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Notons $r$ ce nombre, il vérifie ${r}^2=2$.

Définition d’un nouveau nombre

On définit $\sqrt{2}$ comme étant l’unique nombre positif dont le carré est 2, c’est-à-dire ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.
La longueur $\sqrt{2}$ peut être construite géométriquement de plusieurs manières ; par exemple, par le théorème de Pythagore, l’hypoténuse d’un triangle rectangle isocèle de côté 1 vaut $\sqrt{2}$.
C’est un nombre irrationnel, dont une valeur approchée est
1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478